Bereinigte Form

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Bereinigte Form erfüllt die folgenden Bedingungen,

  1. Jede gebundene Variable in der Form wird unterschiedlich genannt.
    z.B.
    $ \forall xP(x) \lor \forall xQ(x) $ ist keine bereinigte Form.
    $ \equiv \forall xP(x) \lor \forall yQ(y) $ gebundene UmbenennungQ(x)[x/y], bereinigte Form

  2. Keine Variable in der Formel ist sowohl gebunden als auch frei.
    z.B.
    $ \forall xP(x) \lor Q(x) $ ist keine bereinigte Form.
    $\equiv \forall yP(y) \lor Q(x) $ bereinigt
    Achtung: $\forall xP(x) \lor Q(y)$ Das geht nicht. Denn bei der Bereinigung darf man nur die gebundene Variable umbenennen.

Jetzt nehmen wir noch ein Beispiel, das die obigen Eigenschaften besitzt.
z.B.
$ \forall xP(x) \lor Q(x) \lor \exists xQ(x) $ nicht bereinigt
$ \equiv \forall xP(x) \lor Q(y) \lor \exists zQ(z) $ bereinigt

Bei der Aufgabe 32:
(a) $ \forall x(P(x) \lor Q(a) \lor \exists xQ(x)) $
$ \equiv \forall x(P(x) \lor Q(a) \lor \exists yQ(y)) $

(b) $ \forall x(P(x) \rightarrow \exists x(Q(x) \rightarrow \forall x(\forall x R(x) \rightarrow S(x)))) $
$ \equiv \forall x(P(x) \rightarrow \exists y(Q(y) \rightarrow \forall z(\forall u R(u) \rightarrow S(z)))) $