Aufgabenstellung

1. Zeigen Sie, dass die Operatormenge {$\not\rightarrow$, 1} vollständig ist, wobei 1 eine gültige Formel repräsentiert und durch folgende Wahrheitstafel definiert wird:
2. Zeigen Sie,dass die Operatormenge{♦,→}vollständigist,wobei $\rightarrow$ der übliche Implikations-Operator ist und ♦ (“Dingsi”) durch folgende Wahrheitstafel definiert wird:

Zwischenschritt

Vergleiche die obigen Wahrheitstabellen, um eindeutlich zu erklären.

• Wir wissen, $ A \rightarrow B \equiv \lnot A \lor B $

  d.h. wenn B=0, erhalten wir die Darstellung von $ \lnot A $.
  Schaue die erste Wahrheitstabelle an, schreiben wir DNF wie $ A \not \rightarrow B \equiv A \land \lnot B $, d.h. wenn A=1, bekommen wir $ \lnot B $. Warum schreibt man DNF? Denn es liegt nur einen Einswert darin, deshalb vereinfachen wir die Aufgabe.

  Während macht man DNF oder KNF in zweite Wahrheitstabelle(Aufgabe 2) nicht gut, denn wir haben sowohl zwei Einswerte als auch zwei Nullswerte. In der Tatsache wählen wir KNF oder DNF aus, um die Wahrheitstafeln der Formel darzustellen, dann können wir von der KNF oder DNF die Beschreibung der Negation bestimmen.

  Falls es das Zeichen Negation gibt, schaffen wir die Aufgabe zu Vollständigkeit locker. Bei der Aufgabe 10b, betrachten wir die Wahrheitstabelle, die eine Negation der ersten(Implikation) Tabelle ist. d.h.

  $ A \not\rightarrow B \equiv \lnot (A \rightarrow B) $, eigentlich genau wie DNF, die obig erwähnt ist.

  Jetzt löschen wir die Aufgabe 1,

  Negation: $ \lnot B \equiv 1 \not \rightarrow B $

  Und: $ A \lor B \equiv \lnot A \rightarrow B \equiv \lnot \lnot (\lnot A \rightarrow B ) \equiv \lnot (\lnot (\lnot A \rightarrow B )) \equiv \lnot (\lnot A \not \rightarrow B) $

• Ich würde die zweite Wahrheitstabelle (Aufgabe 2), die kompliziert ist. Aber wir betrachten auch die Formel von Implikation. Denn es gibt negierte Aussage in der Formel der Implikation, nämlich $ A \rightarrow B \equiv \lnot A \lor B $, damit können wir schnell das Zeichen von Negation bekommen dadurch, dass wir B=0 setzen. Zurzeit liegt es daran, wie man den Nullswert finden.

  Werfe einen Blick auf die zweite Wahrheitstabelle, suche die Nullswerte darin. Also steht dies Nulls in erster und letzter Zeile. Welche Eigenschaften besitzen die Zeilen? d.h. wenn A und B gleichen Wert besitzen, nämlich A ♦ A = 0. Also lösen wir nach der obigen Methode schnell auf.

Bereinigte Form erfüllt die folgenden Bedingungen,

1. Jede gebundene Variable in der Form wird unterschiedlich genannt.
   z.B.
   $ \forall xP(x) \lor \forall xQ(x) $ ist keine bereinigte Form.
   $ \equiv \forall xP(x) \lor \forall yQ(y) $ gebundene UmbenennungQ(x)[x/y], bereinigte Form

2. Keine Variable in der Formel ist sowohl gebunden als auch frei.
   z.B.
   $ \forall xP(x) \lor Q(x) $ ist keine bereinigte Form.
   $\equiv \forall yP(y) \lor Q(x) $ bereinigt
   Achtung: $\forall xP(x) \lor Q(y)$ Das geht nicht. Denn bei der Bereinigung darf man nur die gebundene Variable umbenennen.

Jetzt nehmen wir noch ein Beispiel, das die obigen Eigenschaften besitzt.
z.B.
$ \forall xP(x) \lor Q(x) \lor \exists xQ(x) $ nicht bereinigt
$ \equiv \forall xP(x) \lor Q(y) \lor \exists zQ(z) $ bereinigt

Bei der Aufgabe 32:
(a) $ \forall x(P(x) \lor Q(a) \lor \exists xQ(x)) $
$ \equiv \forall x(P(x) \lor Q(a) \lor \exists yQ(y)) $

(b) $ \forall x(P(x) \rightarrow \exists x(Q(x) \rightarrow \forall x(\forall x R(x) \rightarrow S(x)))) $
$ \equiv \forall x(P(x) \rightarrow \exists y(Q(y) \rightarrow \forall z(\forall u R(u) \rightarrow S(z)))) $

缘自不理解二项分布的期望，方差和似然函数，而又必须面对期末考试，为了不挂科所以必须把这些概念和推导搞明白。

二项分布是啥？

伯努力实验（Bernoulli-Experiment）：非黑即白，只有{1,0}两个结果。1:事件发生，0:事件不发生。
一般我们会做这样的实验：抛n次硬币，m次是头(Kopf)的概率。这就服从二项分布。

特别注意：我们必须分清，整个N次实验对应的随机变量X和单次的（比如：$\bar X$，此时$\bar X$对应的正态分布函数和X是不同的。）

N次和1次

首先我必须吐槽一下，我个人经常被二项分布里的N次实验和1次实验（比如均值）给弄得找不着北。我们知道期望一般都是用符号$\mu$来表示，但是经常我们看到的是这样：

• $N次实验: E(X)=\mu$
• $均值\bar X的期望: E(\bar X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE(x_i)=\frac{1}{n}n\mu=\mu$

我不禁要说，这是闹哪样？你俩的结果看起来完全一样！这导致我一直不理解二项分布。实际上我们应该像wikipedia上一样写：

• $N次实验: E(X)=\mu_n$

  下标加上n就知道是n次伯努力实验，因此$\mu_n=np$。

• $均值\bar X的期望: E(\bar X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE(x_i)=\frac{1}{n}n\mu=\mu$

  这里不用变，因为就表示一次伯努力实验，一次实验的结果只有0和1的可能。当P代表出现的概率时，$E(x_i)=P+0(1-P)=P=\mu$。所以一次实验的期望始终是P。

二项分布均值的期望和方差

事件发生的概率 P，对应于值「1」
事件未发生的概率 1-P，对应于值「0」

1. 一次伯努力实验的期望和方差，如下：
   $E(x_i)=P+0(1-P)=P=\mu,i=1,2,3…n$
   $Var(x_i)=E((x_i-\mu)^2)=E(x_i^2)-\mu^2=1^2P+0^2(1-P)=P-\mu^2=P-P^2=P(1-P)$

2. 均值的期望和方差
   $E(\bar X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE(x_i)=\frac{1}{n}n\mu=\mu＝P$
   $Var(\bar X)=Var(\frac{x_1+…+x_n}{n})=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^nVar(x_i)=\frac{1}{n^2}n\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}=\frac{P(1-P)}{n}$

正态分布关于均值的考试题型

我经常在置信区间遇到这种类型的题目。比如平时练习中的一道题：

Ein Psychologe misst bei 100 zufällig ausgewählten Personen die Reaktionszeit auf ein bestimmtes Signal. Dabei ergibt sich ein Mittelwert von $\bar X = 0,80$ Sekunden. Unter Annahme, dass die Zufallsvariablen $X_1, …, X_{100}$, welche die Reaktionszeit beschreiben, unabhängig und $N(\mu, 0,04)$-verteilt sind, berechne man ein 0,95-Konfidenzintervall für $\mu$.
一次心理测验中，随机选中100个人，测试其对于一个特定信号的反应时间。给定平均值为0,80秒。在这种假设下，每个随机变量$X_1, …, X_{100}$都描述反应时间，它们互相独立且满足$N(\mu, 0,04)$正态分布，求0,95-置信区间下的$\mu$。注：0,04=0.04

给定如下正态分布表格

解:
标准化均值随机变量：$\frac{\bar X-E(\bar X)}{\sqrt{Var(\bar X)}}=\frac{\bar X-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}=\sqrt{n}\frac{\bar X-\mu}{\sigma}$

$\alpha=0,05 \Leftrightarrow 1-\frac{\alpha}{2}=0,975$
查表可知：$c=\phi^{-1}(0,975)=1,960$

又$P(|\sqrt{n}\frac{\bar X-\mu}{\sigma}|\leq c)=1-\alpha=0,95$

$|\sqrt{n}\frac{\bar X-\mu}{\sigma}|\leq c$
$\Leftrightarrow -c \leq\sqrt{n}\frac{\bar X-\mu}{\sigma} \leq c$
$\Leftrightarrow -c\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \bar X-\mu \leq c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
$\Leftrightarrow -c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}-\bar X \leq -\mu \leq c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}-\bar X$
$\Leftrightarrow c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}+\bar X \geq \mu \geq -c\frac{\sigma}{\sqrt{n}}+\bar X$
将$\sigma=\sqrt{0,04}=0,2, n=100, \bar X=0,8, c=1,96$代入上式得：
$1,96\frac{0,2}{\sqrt{100}}+0,8 \geq \mu \geq -1,96\frac{0,2}{\sqrt{100}}+0,8$
$\Leftrightarrow 0,8392 \geq \mu \geq 0,7608$

因此$\mu \in [0,7608 , 0,8392]$是$\mu$的0,95-置信空间。
也就是说我们估计$\mu$有95的概率落在[0,7608 , 0,8392]此区间。

本文主要通过checked Exception探讨两者的区别，因为checked必须处理，否则编译出错。当我们理解了throw,throws对checked Exception的作用，unchecked也迎刃而解。

• throws

用来声明可能会抛出的异常，然后将异常处理交由上级处理。这样写代码的时候可以不用try..catch。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

//通过throws处理异常
class Person {
	public void eat() throws FileNotFoundException {
		FileInputStream fs = new FileInputStream("fruit.txt");
		//此处可能会出现FileNotFoundException，
		//而FileNotFoundException 属于checked Exception，
		//因此必须处理该异常，你是用throws的方式抛出给上级去处理或者自己try...catch就由你自己权衡。
	}
}
//通过try...catch处理异常
class Person {
	public void eat() {
		try {
			FileInputStream fs = new FileInputStream("fruit.txt");
		} catch (FileNotFoundException e) {
			//可以什么都不做
		}
		//编译不会报错。但是如果谁调用此方法，必须处理该checked Exception（这两种方法任选其一），否则编译报错。
	}
}

由此看来，throws是一种用来处理异常的方式，即声明异常交由上级调用者处理，这样在对checked Exception必须做出处理时，免去了try…catch。

• throw

直接抛出一个异常。如果抛出checked Exception，那么必须处理，还是一个道理，上面的方式两选一。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28

//throw 抛出异常
//如果你这么写，编译报错
class Person {
	public void eat() {
		throw new FileNotFoundException("checked Exception");
		//抛出checked Exception，但是没处理。
	}
} 
//第一种：throws交由上级处理
class Person {
	public void eat() throws FileNotFoundException {
		throw new FileNotFoundException("checked Exception");
	}
}
//为何此处既有throw又有throws呢？throw抛出异常，throws"处理"(交由上级处理)异常，两者分工合作很愉快。
//第二种：try...catch处理
//此处仅供学习，应该没人这么写。
class Person {
	public void eat() {
		try {
			throw new FileNotFoundException("checked Exception");
		} catch (FileNotFoundException e) {
			//do something
		}
	}
}

为什么throw抛出异常的第二种方式正常不会有人这样写？

我的思考是：用try去抛出一个异常然后自己再去catch并处理，这不是多此一举吗！我们用throw抛出一个异常肯定是希望上级去处理，所以应该用第一种。另外，我们经常用throw去抛出一个unchecked Exception给上级。

至此，unchecked Exception的处理也是同样的道理，只是编译器不强制你处理，所以编译能通过，但是程序一旦运行（所以它也称Runtime Exception），unchecked Exception没有被处理，程序肯定是要崩溃的。

数据交互任何场景都是非常重要的，没有数据就没有应用。下面简单用一个图介绍一下Android中Actitivity数据交互的方式。如图：

为什么有语法？

语法是后于语言出现的，是为了规范语言，使表达没有歧义。

系动词、定状补

系动词：起连系作用的词。

补语：补充主语或宾语

定语：修饰名词 形容词 定语从句（有时候带逻辑，带动词关系） 介词加名词

状语：修饰动词 时间 地点 条件 原因 结果 频率 方式 目的
我在楼下碰到小偷。 在楼下只和碰到这个动词有关系。

Tip: 瞬间动作加ing变成将来

1. going: going to
2. coming: The rain is coming，将要下雨了。
3. dying: die的现在分词，The old man is dying。这位老人即将离世。快要死了，而不你不能说正在死，没死绝。

核心动词定位

1. be动词
2. 动词原形，三单(v-es)，过去式（did,-ed）
3. 助动词
   • 当动词想表达否定，倒装，完成 do did does have has had
4. 情态动词
   • 与核心动词搭配使用。can shall may could should might

非谓语动词的形式

1. 现在分词 -ing
   • 主动发出，正在进行
2. 过去分词 -ed
   • 被动接受，已经完成
3. 不定式 to do
   • 目的意图，将来趋势

• 非谓语动词：除不能作系动词、谓语。其他成分都可以。
• 状语：如何用一个动词去修饰核心动词。多个动词同时发生，主要动词作核心动词，其他动词则用非谓语形式出现。如：

After heartbroken（整个句子主语都是he，无需写）, he left his city, crying, to look for a new life.
After encouraged by his teacher, he quited present job, preparing to go abroad.

注：两个句子（前提是句子，如果短语的话就不需要）间逗号隔开，必须用连词。所以上面例子中preparing前不用加连词。

下节提示

1. 动词又分
   • 及物
   • 不及物 接物时需要介词，介词表达动词的方向或结果
2. 介词

冠词

1. 定冠词
   • 你我都明确知道的东西。如果对方不知道的话肯定回问，你说的是哪个东西啊。
   • 专属名词 The yellow river. The summer palace.
2. 不定冠词：某个。
3. 零冠词：泛指某类。

注意：中文句子中带冠词英文也得有。

句子连接

一个句子的核心是动词。

两个句子用逗号分隔中间必须有连词（不能是带有连接意思的副词或者短语，如副词however）

两个句子联系并不紧密可用：

• 分号：类比 排列 概念并列并不是动作
• 句号：

句子分析

By the 1970s, a new respect for the place of buildings within the existing townscape arose.

People who lived(从句动词) in the cities and were（从句动词，与前面lived并列） not directly involved in trade often participated(核心动词) in small cottage industries making(非谓语动词，ing在主动词发生过程中，伴随着发生) handcrafted goods. 参加到作坊的同时，做手工艺品。

非谓语动词

1. 现在分词 -ing
   主动发出，正在进行
2. 过去/分词 -ed
   被动，已经完成
3. 将来 -to do

简单句结构

1. 主谓宾 动作的发出和接受关系

   • 主谓
   • 谓宾 祈使句，你知道主语是谁。Help me.
   • 主谓 双宾语

   • 主谓宾+宾补 I elect you our monitor.

     双宾语和宾补的区别？

   • 双宾语可以将动词后的名词（通常是人）加上介词放到直接宾语（原句中一般是物）后面。例：I baked him a cake = I baked a cake for him。 核心动词是bake，我们bake什么？蛋糕，而不是他！

   • 宾补是对宾语的补充和描述。例：I elect you president。如果把句子当成双宾语：I elect president for/to you。 这表达完全不对。所以正确理解是：我选你，你当班长。班长用来补充你。「我选你」，句子明显少信息。
2. 主系表
   • 状态和表达的描述关系 例：这个菜很难吃。我很冷。
   • 感官动词也是系动词